1.7 Tagli

Dato un numero reale r e una direzione nel piano, individuata da un vettore v = (v[1], v[2]) di lunghezza unitaria, il taglio con fattore r nella direzione v è una trasformazione T che fissa i punti della retta per l'origine parallela a v e sposta i punti lungo le rette parallele a v di una quantità proporzionale alla distanza della retta dall'origine.

Se P = (x, y) è un generico punto del piano, la retta l per P parallela a v ha equazione cartesiana

v[2]*x-v[1]*y+c = 0

Il valore assoluto di c è la distanza di l dall'origine, come si può vedere intersecando l con la retta per O ortogonale a l , di equazioni parametriche x = t*v[2] , y = -t*v[1] . Il punto H di intersezione soddisfa v[2]*t*v[2]-v[1]*t*(-v[1])+c = 0 , da cui t = -c (poiché v[1]^2+v[2]^2 = 1 ) e H = (-c*v[2], c*v[1]) . Dunque

distanza(l,O) = sqrt((-c*v[2])^2+(c*v[1])^2) , che è il valore assoluto abs(c)

Il taglio T trasforma il punto P nel punto P[1] = P+r*c*v , che è ancora appartenente alla retta l . Le coordinate di T(P) = P[1] sono (x[1], y[1]) = (x, y)+r*(-v[2]*x+v[1]*y)*(v[1], v[2... e quindi T è una trasformazione lineare (e quindi affine):

matrix([[x[1], y[1]]]) = matrix([[x, y]]) . matrix([[1-r*v[1]*v[2], -r*v[2]^2], [r*v[1]^2, 1+r*...

Esempio

Osservazione