2.2 Punti all'infinito

Due rette parallele contenute in un piano non si incontrano. Se però si considerano le proiezioni di due rette parallele su un secondo piano non parallelo al primo (proiettando da un centro C non appartenente ai due piani), allora le rette si intersecano in un punto (per convincersene, basta sedersi 'mentalmente'(!) sui binari della ferrovia...).

[Maple Plot]

Per trattare correttamente i 'punti all'infinito' e le proiezioni tra piani conviene estendere il piano aggiungendo i cosiddetti punti impropri . Scegliamo coordinate X, Y, Z in R^3 e identifichiamo i punti ( x, y ) del piano cartesiano con i punti ( x, y, 1 ) del piano di equazione Z = 1 nello spazio. Ogni punto del piano è in corrispondenza con un'unica retta per l'origine in R^3 , la retta che contiene il punto. Chiamiamo piano proiettivo P^2 l'insieme delle rette per l'origine di R^3 .

Ogni retta per O è identificata da un suo qualsiasi punto ( X, Y, Z ) distinto da O , cioè con X, Y, Z non tutti nulli. Due terne ( X, Y, Z ) e ( X[1], Y[1], Z[1] ) individuano lo stesso 'punto' di P^2 (cioè la stessa retta per O ) se e solo se esiste un numero reale non nullo k tale che X[1] = k*X, Y[1] = k*Y, Z[1] = k*Z . Chiameremo ( X, Y, Z ) coordinate omogenee della retta per O , cioè del punto corrispondente di P^2 . Ad esempio, ( 3, 2, 1 ) e ( 6, 4, 2 ) sono coordinate omogenee della retta di equazioni parametriche

X = 3*t, Y = 2*t, Z = t

che è il punto del piano proiettivo P^2 corrispondente al punto Q = (3, 2) nel piano.

Coordinate omogenee della forma ( X, Y, 0 ) non corrispondono a un punto del piano cartesiano, ma rappresentano i cosiddetti punti impropri del piano proiettivo. Ogni punto improprio corrisponde a una direzione nel piano cartesiano, quella delle rette parallele alla retta per O di coordinate omogenee ( X, Y, 0 ). Possiamo considerare il punto improprio ( X, Y, 0 ) come il punto all'infinito delle rette del piano cartesiano con direzione v = (X, Y) . Infatti, la retta del piano passante per ( a, b ) e con direzione v = (X, Y) ha equazioni parametriche

(x(t), y(t)) = (a+t*X, b+t*Y)

Il punto P(t) = (x(t), y(t)) sulla retta ha coordinate omogenee 1/t (a+t*X, b+t*Y, 1) = (a/t+X, b/t+Y, 1/t) per t <> 0 . Al tendere di t all'infinito, tali coordinate omogenee tendono a quelle del punto improprio ( X, Y, 0 ).

Possiamo dunque considerare il piano proiettivo P^2 come un'estensione del piano cartesiano, al quale vengono aggiunti tutti i punti all'infinito delle rette del piano (uno per ogni famiglia di rette parallele).

Ogni retta l del piano cartesiano, considerata come sottoinsieme di P^2 , contiene un punto improprio, l'unica retta per O parallela a l . Se l ha equazione

a*x+b*y+c = 0 ,

in coordinate omogenee ha equazione

a*X/Z+b*Y/Z+c = 0 , ovvero a*X+b*Y+c*Z = 0 (i punti ( X, Y, Z ) dello spazio formano un piano per l'origine in R^3 )

Il suo punto improprio si ottiene ponendo Z = 0 : ha coordinate omogenee ( b, -a, 0 ), corrispondente al vettore direzione v = (b, -a) . Ogni retta parallela a l ha equazione cartesiana della forma a*x+b*y+d = 0 , e quindi a*X+b*Y+c*Z = 0 in coordinate omogenee. Due rette parallele hanno sempre intersezione nel punto improprio ( b, -a, 0 ).

Esempio: le rette 3*x+6*y+4 = 0 e x+2*y+4 = 0 hanno punto improprio (6, -3, 0) = (2, -1, 0) . Sono quindi rette parallele del piano cartesiano.