Riflessione rispetto a un piano arbitrario

Un piano nello spazio ha un'equazione cartesiana della forma a*x+b*y+c*z+d = 0 , con a, b, c non tutti nulli. Il vettore n = (a, b, c) è normale (cioè ortogonale) al piano. L'equazione del piano Pi passante per il punto P[0] = (x[0], y[0], z[0]) e con direzione normale ( a, b, c ) è dunque

a*(x-x[0])+b*(y-y[0])+c*(z-z[0]) = 0 .

Per ottenere la riflessione rispetto al piano Pi , è sufficiente trasformare il piano in un piano coordinato, ad esempio il piano xy . Si può procedere come nella sezione precedente, traslando P[0] nell'origine e ruotando il vettore normale ( a, b, c ) con angoli theta e phi in modo da renderlo parallelo all'asse z . La riflessione è data quindi dalla concatenazione

T(-x[0],-y[0],-z[0])*Rot[z](-theta)*Rot[y](-phi)*S(...

Esempio: consideriamo il piano 2*x-y+2*z-2 = 0 , passante per il punto P[0] = (1, 0, 0) . Il vettore normale n = (2, -1, 2) ha lunghezza 3 e quindi cos(phi) = 2/3 , sin(phi) = sqrt(5)/3 , c os(theta) = 2/3/sin(phi) = 2/sqrt(5) , sin(theta) = -1/(3*sin(phi)) = -1/sqrt(5) .

matrice..