2.3 Trasformazioni del piano in coordinate omogenee

Come si è visto in 2.1, ogni trasformazione affine del piano può essere ottenuta mediante un prodotto matriciale con matrici 3x3. Una conseguenza di questo fatto è che alla concatenazione di trasformazioni corrisponde il prodotto delle matrici 3x3 e che la trasformazione inversa è rappresentata dalla matrice inversa (quando esiste). Se

= e =

con e , allora = .

Dunque la concatenazione di due trasformazioni affini si ottiene mediante la matrice prodotto (nello stesso ordine). Inoltre e se e solo se e , cioè è invertibile con inversa . Questo avviene quando , determinante che coincide col determinante della matrice 2x2 associata alla componente lineare di .

Vediamo ora, per le varie classi di trasformazioni che ci interessano, l'espressione in coordinate omogenee.

Traslazioni

Cambiamenti di scala

Rotazioni

Riflessione rispetto a una retta

Tagli